Curso Online de Matrizes - Fatoração LU

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LU - fatoração Gaussiana Fatoração LU de matrizes tridiagonais Fatoração LU com Pivo Fatoração LU Direta Fatoração LU Cholesky Fatoração ...

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LU - fatoração Gaussiana
Fatoração LU de matrizes tridiagonais
Fatoração LU com Pivo
Fatoração LU Direta
Fatoração LU Cholesky
Fatoração LU aplicações
Fatoração LU - Problemas

Formação em engenharia Mecanica IMT, Bacharel e Licenciado em Matemática, Cursos de pos graduação no IME-USP, Mestrado em Matemática Unicamp



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  • Matrizes – Fatoração LU

    fausset – carlos alberto sassi
    2010

    matrizes – fatoração lu

  • Introdução

    introdução

    nos capítulos anteriores nós usamos a notação de vetor-matriz e operações para resolver sistemas de equações lineares. neste parte e nos próximos nós investigaremos métodos para resolver problemas relacionados a algebra linear. nós vamos considerar a fatoração de uma matriz em produto de duas outras matrizes l, matriz inferior triangular e u matriz superior triangular para uma matriz 3 x 3 o problema é encontrar l e u, tal que lu = a, isto é:

    existem dois métodos para encontrar a fatoração lu, o método de gauss (eliminação) e computação direta. o primeiro cria uma matriz triangular superior durante o processo de eliminação e a correspondente matriz inferior com 1’s na diagonal principal, onde esta pode ser construída com os multiplicadores usados na eliminação. no caso de matrizes tri-diagonais a fatoração pode ser obtida muito eficientemente pelos vetores contidos na diagonal principal, e elementos acima e abaixo desta.
    o segundo método de decomposição direta, é mais generalizado e que se obtém seguindo o fato de que a fatoração lu não é única. os três mais importante são as diferentes formas possíveis dos elementos da diagonal principal. a forma doolittle, com 1’s na diagonal principal de l, nos da os mesmos fatores produzidos pela eliminação gaussiana. a forma crout tem 1’s na diagonal principal da matriz u. enquanto que a forma cholesky tem os elementos das diagonais tanto de l e u iguais., isto é e isto é muito importante no caso de matrizes simétricas positivas definidas, desde que no caso preserva a simetria e produz uma fatoração l = u’. para matrizes simétricas positivas definidas uma modificação na forma de cholesky da a fatoração ldi. a fatoração lu de a pode ser usada para resolver problemas de sistemas de equações lineares, especialmente quanto ax = b.

  • deve ser resolvido repetidas vezes usando a matriz a, com diferentes valores de b. a fatoração lu também pode ser usada para encontrar a inversa de a e o determinante de a.
    exemplo: 1. – aplicação na análise de circuitos elétricos.
    consideremos o problema de encontrar a corrente nas diferentes partes do circuito elétrico mostrado na figura 1. suponha agora que desejamos investigar o efeito de mudanças nas variações de voltagens e queda de voltagens nos sub-circuitos. as equações para os três loops podem ser escritas de uma forma geral como segue:

    nos podemos resolver um novo circuito eficientemente pelo método figura 1
    fatoração lu dos coeficientes da matriz (os quais não mudam desde que não se modificam os resistores e suas dimensões).

  • Sumário

    sumário

    apresentação
    1 lu fatoração – gaussiana
    2 fatoração lu de matrizes tri-diagonais
    3 fatoração lu com pivo
    4 fatoração lu direta
    4.41. fatoração doolittle.
    5 fatoração lu cholesky
    6 fatoração lu – aplicações.
    7 fatoração lu – problemas.

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    o processo de eliminação de gauss forma a base para encontrar a representação da matriz a conhecida como fatoração lu. a matriz inferior triangular l , com 1’s na sua diagonal principal pode ser encontrada pelos multiplicadores utilizados na eliminação gaussiana. o processo de eliminação transforma a matriz original a em uma matriz triangular superior u. a matriz inferior triangular l é formada pelos multiplicadores (inversos negativos) que foram usados no processo de eliminação em posições apropriadas a matriz inferior, conforme exemplo a seguir:
    exemplo 2. sistema 3 x 3.
    nós inicialmente ilustramos a fatoração lu para as matrizes inicializadas por l = i e u = a, então temos:

    1º passo – a primeira linha de u permanece inalterada.
    multiplicar a primeira linha por -2, e adicionar o resultado a segunda linha.
    armazenar o negativo do multiplicador de primeira na primeira coluna, segunda linha de l.
    também multiplicar a primeira linha por -3 e adicionar o resultado a terceira linha.
    armazenar o negativo do multiplicador na primeira coluna, terceira linha de l.
    os resultados das matrizes são:

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    2º passo – a primeira e a segunda linhas de u permanecem inalteradas.
    multiplicar a segunda linha por -4 e adicionar o resultado a terceira linha.
    armazenar o negativo do multiplicador na segunda coluna, terceira linha de l.
    as matrizes resultantes são:

    multiplicar l por u, para verificar o resultado.

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    exemplo 3. – sistema 4 x 4.
    nós agora vamos considerar a fatoração lu para uma matriz 4 x 4.

    1º passo –linha 1 permanece inalterada e linhas de 2 a 4 são modificadas para:

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    2º passo linhas 1 e 2 permanecem inalteradas, e linhas 3 e 4 são transformadas em:

    3º passo a linha 4 é então alterada para concluir o estágio final.

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    exemplo 4 – fatoração lu para resolver o circuito elétrico.

    as matrizes após o primeiro estágio da eliminação gaussiana são:

    as matrizes após o segundo estágio da eliminação gaussiana são:

  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana

    capítulo i –lu fatoração gaussiana

    resolvendo o sistema ai = lui = v, fazendo y = ui então ly = v

    donde,
    resolvendo o sistema ui = y

    donde,

  • Capítulo II – Fatoração de Matrizes Tridiagonais.

    capítulo ii – fatoração de matrizes tridiagonais.

    como nós encontramos com a eliminação gaussiana, a fatoração lu de matrizes tridiagonais t pode ser obtida usando muito menos cálculos computacionais (e menos memória de computador para armazenamento das matrizes), que para o caso de matrizes completas da mesma dimensão.
    função matlab para fatoração de matrizes tridiagonais. nos codematlab que segue, os multiplicadores são armazenados no vetor bb e que forma a diagonal da matriz l, pode ser escrito diretamente do vetor l da original, e a modificação da diagonal principal da matriz triangular superios, dd, pode ser escrito acima da diagonal d acima da original.
    exemplo 5. – fatoração lu de um sistema tridiagonal.
    consideremos novamente um sistema 4 x 4 de matriz tridiagonal que segue:

    podemos representar pelos vetores

    para este exemplo, n= 4, temos os seguintes passos na função matlab


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  • Matrizes – Fatoração LU
  • Introdução
  • Sumário
  • Capítulo I –LU Fatoração Gaussiana
  • Capítulo II – Fatoração de Matrizes Tridiagonais.
  • Capítulo III – Fatoração com Pivo
  • Capítulo IV – Fatoração LU Direta
  • Capítulo V – Fatoração LU - Cholesky
  • Capítulo VI – Fatoração LU - Aplicações
  • Capítulo VII – Fatoração LU Problemas