Curso Online de Análise Combinatória

Análise Combinatória

Introdução e o Princípio Fundamental da Contagem

Introdução

Conceito

Análise Combinatória é o ramo da matemática responsável por estudar e contabilizar problemas de contagem.

Exemplo: De quantas maneiras é possível montar a senha de um e-mail?

De quantas maneiras eu posso formar um casal com X mulheres e com Y homens?

Introdução

O estudo da Análise Combinatória será dividido em quatro partes:

Princípio Fundamental da Contagem;
Fatorial
Arranjo;
Permutação;
Combinações.

A maior dificuldade dos alunos é saber identificar corretamente se a resolução de um problema dependerá da aplicação de Arranjo, Permutação ou Combinação. Sendo assim, a leitura do enunciado da questão é de extrema relevância para essa identificação.

Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental de Contagem

O princípio fundamental poderá ser utilizado sempre que houver um evento que pode ser fragmentado em várias etapas.

Exemplo: Caminho a ser percorrido de A até C (evento).

O evento irá ser fragmentado em duas partes: o caminho de A até B e o caminho de B até C. Caso existam 4 caminhos para se ir de A até B e 5 caminhos para se ir de B até C, de quantas maneiras diferentes poderá se chegar até C?

Princípio Fundamental da Contagem

Sendo assim (utilizando-se do exemplo anterior), se há 4 formas de se tomar uma decisão 1 e, após tomada a decisão 1, há 5 formas de se tomar uma decisão 2, então o número de modos de tomar as decisões 1 e 2 é 5x4.

O princípio fundamental da contagem é um princípio que informa quantas vezes e as diferentes formas que um evento pode acontecer.

Princípio Fundamental da Contagem

A

B

C

EVENTO

4 caminhos
ETAPA 1

5 caminhos
ETAPA 2

Princípio Fundamental da Contagem

Resolvendo a questão...

Primeira decisão a ser tomada: escolher o caminho de A até B (há 4 maneiras diferentes de se chegar até B).

Segunda decisão a ser tomada: após chegar a B, devemos escolher o caminho para se chegar até C (há 5 maneiras de se chegar até C).

4 x 5 = 20

Existem 20 caminhos diferentes para ir de A até B.

Princípio Fundamental da Contagem

Outro exemplo:

Com 5 homens e 4 mulheres, de quantos modos se pode formar um casal? (o evento é a formação de um casal; as etapas são a escolha do homem e escolha da mulher).

Primeira decisão a ser tomada: escolha do homem – 5 possibilidades. Segunda decisão a ser tomada: escolha da mulher – 4 possibilidades. Há 5 x 4 = 20 modos de formar um casal.

Análise Combinatória

Fatorial

Fatorial

Definição:

O fatorial de um número normalmente é cobrado durante a resolução dos exercícios de análise combinatória, e define-se como sendo o produto de números naturais consecutivos de n a 1:

n! = n.(n-1).(n-2). (n-3) ... .3.2.1

FATORIAL DE n

Fatorial

Exemplo 1:

Fatorial de 2

n! = n.(n-1)...

2! = 2. (1) = 2

O fatorial pega o número e o diminui sempre em 1 unidade até chegar no número 1.