Curso Online de Análise Combinatória para o Enem e Concursos

Consumo. Para montar seu lanche na cantina da escola, Raul pode escolher entre 2 tipos de pão (francês ou integral), 3 tipos de recheio (calabresa, presunto ou hambúrguer) e ainda se quer o sanduíche com ou sem queijo. Quantos tipos de sanduíche Raul pode montar?
Situações envolvendo contagem
18.1
18.1

Raul pode fazer três tipos de escolha:
E1: pão francês (f) ou integral (i);
E2: recheio de calabresa (c), presunto (p) ou hambúrguer (h);
E3: com queijo (cq) ou sem queijo (sq).
Situações envolvendo contagem
18.1

Situações envolvendo contagem
E1 E2 E3 Sanduíche
Organizando as opções em um esquema, temos:
2 possibilidades 3 possibilidades 2 possibilidades 12 possibilidades
Esse tipo de esquema é chamado de árvore de possibilidades, também conhecido como diagrama de árvore ou diagrama sequencial.
18.1

Com base no esquema, concluímos que Raul pode montar 12 tipos de sanduíche.
Situações envolvendo contagem

18.1

Jogo. Vamos considerar dois lançamentos sucessivos de uma moeda. Quais resultados podem ser obtidos? Quando lançamos uma moeda, podemos obter cara (c) ou coroa (k). Lançando-a uma segunda vez, novamente podemos obter cara (c) ou coroa (k).
Situações envolvendo contagem
18.2

Vamos representar esses lançamentos em uma árvore de possibilidades:
Situações envolvendo contagem
18.2

Outro recurso para representar todas as possibilidades é a tabela de dupla entrada:

Assim, temos 4 resultados possíveis: cc, ck, kc e kk. 
Situações envolvendo contagem
2o lançamento
1o lançamento
18.2

Para calcular o número de resultados possíveis de um acontecimento sem ter de listar todas as possibilidades, usamos o princípio multiplicativo, também conhecido como princípio fundamental da contagem:

O princípio multiplicativo pode ser estendido para três ou mais etapas. 
Considere que um acontecimento ocorra em duas etapas sucessivas, A e B. Se A pode ocorrer de m maneiras e se, para cada uma, B pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras de ocorrência do acontecimento é m n.  
Princípio multiplicativo

18.3

18.4
Exercício resolvido
R1. Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, há 7 cadeiras desocupadas. De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras? 

R1.
Resolução
Vamos considerar que a ocupação das cadeiras ocorra em três etapas: 
E1 (escolha de uma cadeira pelo 1o aluno): 7 possibilidades 
E2 (escolha pelo 2o aluno após ter ocorrido E1): 6 possibilidades 
E3 (escolha pelo 3o aluno após terem ocorrido E1 e E2): 5 possibilidades 
Pelo princípio multiplicativo, temos: 7 6 5 = 210 
Logo, são 210 maneiras diferentes.
18.4
Exercício resolvido

R2. Transporte. Conforme vimos no início do capítulo, no Brasil, após 1990, as placas de automóvel passaram a ter 3 letras seguidas por 4 algarismos. Quantas são as possibilidades de compor placas diferentes nesse sistema? (Considere o alfabeto com 26 letras.)
18.5
O diagrama abaixo representa os 7 espaços de uma placa de automóvel:
Exercício resolvido