Curso Online de Matemática: Derivada de Funções Reais

derivadas de funções

prof.: domingos anselmo m. da silva

ufam.anselmo@gmail.com

derivadas de funções

este curso teve origem nas dificuldades de
alunos dos cursos de ciências exatas e
engenharias.acreditamos estas notas serão
úteis para você amigo(a) leitor(a).

derivadas de funções

introdução a derivada, propriedades, regra da cadeia e derivação implícita

derivada a linguagem do movimento

galileu, ao descrever pela primeira vez uma função que relacionava o espaço com o tempo na queda dos corpos, deixou em aberto a necessidade do cálculo diferencial, mas particularmente do cálculo com derivadas.

a tentativa de galileu de demonstrar que todos os corpos caem com a mesma aceleração esbarrou na falta de um instrumento matemático - as derivadas.
quem foi capaz de completar a tarefa de galileu?...

lei da queda dos corpos

derivada a linguagem do movimento

isaac newton e w.g. leibniz, iniciaram o cálculo diferencial e, ao medir o ritmo de mudança dos fenómenos físicos, naturais e inclusive sociais cumprem o sonho pitagórico: explicar o mundo com a matemática.

a derivada, tem sua origem em dois problemas históricos que conduzem a duas formas de interpretação: a gráfica e símbolica e a numérica/analítica. graças a introdução das coordenadas cartesianas por decartes e fermat no séc. xvii.

o problema da tangente (no estudo de máximos e mínimos de funções)

a velocidade de um objeto num determinado momento (taxas de variação)

derivada a linguagem do movimento

fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva.

o problema da tangente

a primeira definição de reta tangente a uma curva: reta que encontrava a curva num único ponto

esta definição ainda é útil para algumas curvas um pouco mais gerais que a circunferência

derivada a linguagem do movimento

o problema da tangente

embora estas retas interceptem a curva, elas não correspondem a nossa noção intuitiva de tangente.

a reta tangente pode ser obtida por um processo limite. quando o ponto a se aproxima do ponto b a reta secante tende a reta tangente.

derivada a linguagem do movimento

o problema da tangente

fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo.

considere a reta secante que passa pelos pontos p e q

derivada a linguagem do movimento

o problema da tangente

fermat resolveu o problema da tangente de maneira muito simples como mostraremos abaixo.

o coeficiente angular dessa reta é:

a

f(a)

b

f(b)

mantemos p fixo e fazemos o ponto q aproximar de p.

derivada a linguagem do movimento

o problema da tangente

a

f(a)

b

f(b)

mantemos p fixo e fazemos o ponto q aproximar de p.

se o limite existe,

obtemos a reta tangente ao gráfico de
em p, e é o coeficiente

angular desta reta

derivada a linguagem do movimento

a reta tangente a um ponto

x0

f(x0)

x0+h

f(x0+h)

seja o gráfico de uma função, o ponto