Curso Online de Matemática Aplicada

matemática aplicada

professor marcelo beneti

conjuntos e operações numéricas

breve histórico
a história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
e essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. e é sobre eles que passamos a tratar.

continuação

e essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos. e é sobre eles que passamos a tratar.
podemos exemplificar da seguinte forma de uso dos conjuntos na vida cotidiana, por exemplo:

continuação

conjunto dos estados da região sudeste: são paulo, rio de janeiro, minas gerais e espírito santo.
conjunto dos maiores times de são paulo: são paulo, corinthians, palmeiras e santos.
conjunto dos números naturais (n)
como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra n e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:
n = {0; 1; 2; 3; …}
um subconjunto de n muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja n – {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que é representado por n*.

exemplos

 
qual o conjunto dos números naturais pares:
resposta: {0,2,4,6,8,10,...}
qual o conjunto dos números naturais ímpares?
resposta: {1,3,5,7,9,...}
 
observações:
em n são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;
isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;
valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em n. veja o artigo produtos notáveis para maiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado é o dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para n;
em n a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a n o simétrico -a não existe em n.
como consequência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

conjunto dos números inteiros (z)

chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra z, o seguinte conjunto:
z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}
no conjunto z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:
conjunto dos inteiros não negativos: z+ = {0; 1; 2; 3; …};
conjunto dos inteiros não positivos: z- = {…; -3; -2; -1; 0};
conjunto dos inteiros não nulos: z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};
conjunto dos inteiros positivos z+* = {1; 2; 3; …};
conjunto dos inteiros negativos z-* = {…; -3; -2; -1}.
note que z+ = n e, por essa razão, n é um subconjunto de z.

curiosidades

por que o conjunto dos números inteiros é representado pela letra z?
resposta: é representado pela letra z, devido ao fato da palavra zahl em alemão significar "número".

observações

no conjunto z, além das operações e suas propriedades mencionadas para n, vale a propriedade simétrico ou oposto para a adição. isto é: para todo a em z, existe -a em z, de tal forma que a + (-a) = 0;
devido a este fato podemos definir a operação de subtração em z: a – b = a + (-b) para todo a e b pertencente a z;
note que a noção de inverso não existe em z. em outras palavras, dado q pertencente a z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em z;
por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros;
outro conceito importante que podemos extrair do conjunto z é o de divisor. isto é, o inteiro a é divisor do inteiro b – simbolizado por b | a – se existe um inteiro c tal que b = ca;
os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;
cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa;
em z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para todo x pertencente a z. como decorrência da definição, temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

conjunto dos números racionais (q)

curiosidade:
por que o conjunto dos números racionais é representado pela letra q?
resposta: q vem de quociente (divisão)
o conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra q, é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:
como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então z é um subconjunto de q. valem também para o conjuntos dos números racionais as notações q* (conjunto dos números racionais não nulos), q+ (conjunto dos números racionais não negativos) e q- (conjunto dos números racionais não positivos).

observações

são válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;
além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. isto é, para todo a/b pertencente a q, a/b diferente de zero, existe b/a em q tal que (a/b)(b/a) = 1;
decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a q;
todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…), ou seja, 1 dividido por 2 é 0,5 , 1 dividido por 3 é 0,3333...(dízima periódica).

números irracionais

como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero (diferente de zero pois como zero é um número nulo , o mesmo não divide nenhum outro).