Curso Online de Função Modular

Capítulo
5
Função modular

Módulo ou valor absoluto, de um número real x, indicado por |x|, é definido como:
|x| = x, se x 0 e |x| = x, se x < 0

a) |4| = 4
b) |0,25| = 0,25
c) |0| = 0
d)
e) | 4| = 4
f)

5.1
Exemplos
Módulo ou valor absoluto de um número real

c)|2| = 2 (distância do ponto associado a 2 até a origem)
d)|2| = 2 (distância do ponto associado a 2 até a origem)
5.2
Módulo ou valor absoluto de um número real

Observação
Para todo x , temos:
a) = |2 | = (2 ) = 2, pois 2 é negativo.
b) = |x 3| =
c) = x² + 1, pois x² + 1 é positivo para qualquer x .
5.3
Exemplos
Módulo

Função modular é a função f: tal que:
f(x) = |x|, ou seja, f(x) =
Função modular

a) f(x) = |x| 3

Há algumas funções que podem ser obtidas da função modular.
b) i(x) = 9|x2 + x|

d) j(x) = |x| + |x + 1|

5.4
Exemplos

Gráfico da função modular

Para x 0, temos: f(x) = |x| = x

5.5

Gráfico da função modular

5.5
Para x 0, temos: f(x) = |x| = x
1
y = f(1) = (1) = 1
2
y = f(2) = (2) = 2
(2, 2)
(1, 1)

Gráfico da função modular

5.5
Reunindo os dois gráficos, formamos o gráfico da função modular f(x) = |x|:
D(f) = e Im(f) = +

Exercício resolvido
R1. Calcular |x + 1|para:
Resolução

a) x = 7

b) x = 8

a) Para x = 7: |x + 1| = |7 + 1| = |8| = 8

c) qualquer número real
b) Para x = 8: |x + 1| = |8 + 1| = |7| = 7
c) Pela definição de módulo, temos duas possibilidades.
|x + 1| = x + 1, se x + 1 0, ou seja, x 1
|x + 1| = (x + 1), se x + 1 0, ou seja, x 1 
Portanto: |x + 1| =

5.6

Exercício resolvido
R2. Determinar os possíveis valores reais de x para:

a) |x| = 7

b) |x| = 0

a) Se |x| = 7, então x = 7 ou x = 7
Podemos verificar: |7| = 7 e |7| = 7

c) |x| = 3 

b) Se |x| = 0, então x = 0, pois zero é o único número real cujo módulo é zero.
c) A sentença |x| = 3 é falsa para qualquer número real, pois o módulo de um número real nunca é negativo.
5.7
Resolução

Exercício resolvido
R3. Determine uma expressão equivalente a cada caso, sem usar módulo.
Resolução

a) Se |x 5| para x 5.

a) Se x 5, temos: x 5 0
Portanto: |x 5| = x 5 para x 5.

b) |x 5| |x 3| para x .

5.8