Curso Online de MATEMÁTICA PARA CONCURSOS

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ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE EM GRANDE ABORDAGEM, DIRECIONADA PARA QUALQUER CONCURSO PÚBLICO E DE QUALQUER NÍVEL COM VÁRIAS QUEST...

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ANÁLISE COMBINATÓRIA E PROBABILIDADE EM GRANDE ABORDAGEM, DIRECIONADA PARA QUALQUER CONCURSO PÚBLICO E DE QUALQUER NÍVEL COM VÁRIAS QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDAS E COM UMA TEORIA ENXUTA E OBJETIVA.

ENGENHEIRO QUÍMICO FORMADO PELA UFF; PROFESSOR DE CIÊNCIAS; PROFESSOR DE MATEMÁTICA FINANCEIRA; PROFESSOR DE MATEMÁTICA FORMADO PELA UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES; PROFESSOR DE MATEMÁTICA DA REDE DE ENSINO DA FUNDAÇÃO MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO DE NITERÓI.



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  • CURSO COMPLETO
    PARA
    CONCURSOS PÚBLICOS

    ANÁLISE COMBINATÓRIA

    PROBABILIDADES

    QUESTÕES RETIRADAS DOS 10 ÚLTIMOS ANOS DAS PRINCIPAIS ORGANIZADORAS

    ABSOLUTAMENTE TODAS AS QUESTÕES ESTÃO RESOLVIDAS E COMENTADAS.

    MATERIAL COMPLETO PARA CONCURSOS PÚBLICOS NAS ÁREAS TRIBUTÁRIA, CONTÁBIL, FINANCEIRA E TRIBUNAIS DE TODO O BRASIL.

    AUTOR: HERALDO BITTENCOURT MACIEL

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    Autor: Professor Heraldo Bittencourt Maciel

    Material Completo e Indispensável para Concursos Públicos Federais, Estaduais e Municipais nas Áreas Fiscais e Tributárias e para Tribunais e outros órgãos.

    O autor é formado pela UFF (UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE) em Engenharia Química e em Matemática e Ciências Físicas e Biológicas e Química pela UCAM (UNIVERSIDADE CÂNDIDO MENDES).

    Atualmente, o autor é Professor de Matemática da Rede Municipal de Niterói, no Rio de Janeiro, já tendo sido Professor de diversos Cursos e Colégios da Rede Privada nas disciplinas de Matemática, Matemática Financeira, Raciocínio Lógico-Quantitativo, Física e Química.

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  • ASSUNTO I ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise Combinatória estuda o número de combinações, arranjos ou permutações que se pode fazer com determinados dados. Por exemplo, quando queremos formar comissões de pessoas, combinar cores para pintar cômodos da casa, quando queremos criar uma senha bancária ou para acessar à Internet, quando desejamos formar números de telefones ou de placas de automóveis, dentre outra s possibilidades, usamos a Análise Combinatória. É um assunto muito importante, uma vez que, exige do aluno, e também do professor, atenção, raciocínio e conhecimento matemático.

    ASSUNTO I ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise Combinatória estuda o número de combinações, arranjos ou permutações que se pode fazer com determinados dados. Por exemplo, quando queremos formar comissões de pessoas, combinar cores para pintar cômodos da casa, quando queremos criar uma senha bancária ou para acessar à Internet, quando desejamos formar números de telefones ou de placas de automóveis, dentre outra s possibilidades, usamos a Análise Combinatória. É um assunto muito importante, uma vez que, exige do aluno, e também do professor, atenção, raciocínio e conhecimento matemático.

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  • O primeiro passo para que possamos alcançar sucesso nas resoluções de problemas de análise combinatória, é distinguirmos no enunciado se devemos usar combinação simples, arranjo simples, permutação, permutação com repetição ou o princípio fundamental da contagem. Eis as fórmulas mais importantes:

    O primeiro passo para que possamos alcançar sucesso nas resoluções de problemas de análise combinatória, é distinguirmos no enunciado se devemos usar combinação simples, arranjo simples, permutação, permutação com repetição ou o princípio fundamental da contagem. Eis as fórmulas mais importantes:

    Permutação com Repetição: Pna, b, c ... = n! / a!.b!.c!...
    Combinação Simples: Cpm = m!/p!(m-p)!  Combinação de m coisas organizadas de p em p.
    Arranjo Simples: Apm = m!/(m-p)!  Arranjo de m coisas organizadas de p em p.

    Permutação: Pn = n!

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  • I. COMBINAÇÃO SIMPLES NA COMBINAÇÃO SIMPLES, O OBJETIVO É DESCOBRIR O NÚMEROS MÁXIMO DE MISTURAS QUE PODEMOS FAZER, NÃO IMPORTANDO A ORDEM DESSA MISTURA. EX.: SE QUISERMOS FORMAR UMA COMISSÃO DE 5 PESSOAS A SEREM ESCOLHIDAS DENTRE 10 PESSOAS DE IGUAL CAPACIDADE, TEREMOS QUE FAZER O CÁLCULO C510 NÃO IMPORTANDO A ORDEM DAS PESSOAS ESCOLHIDAS NO GRUPO. SE O GRUPO FOR REPRESENTADO POR JOSÉ, MARIA, JOÃO, JONAS E JOAQUIM OU JOAQUIM, JOSÉ, MARIA, JONAS E JOÃO, ETC.... ISSO NÃO MUDARÁ A COMPOSIÇÃO, A MISTURA, O TIPO DE AGRUPAMENTO ESCOLHIDO, POIS A COMISSÃO SERÁ A MESMA.

    I. COMBINAÇÃO SIMPLES NA COMBINAÇÃO SIMPLES, O OBJETIVO É DESCOBRIR O NÚMEROS MÁXIMO DE MISTURAS QUE PODEMOS FAZER, NÃO IMPORTANDO A ORDEM DESSA MISTURA. EX.: SE QUISERMOS FORMAR UMA COMISSÃO DE 5 PESSOAS A SEREM ESCOLHIDAS DENTRE 10 PESSOAS DE IGUAL CAPACIDADE, TEREMOS QUE FAZER O CÁLCULO C510 NÃO IMPORTANDO A ORDEM DAS PESSOAS ESCOLHIDAS NO GRUPO. SE O GRUPO FOR REPRESENTADO POR JOSÉ, MARIA, JOÃO, JONAS E JOAQUIM OU JOAQUIM, JOSÉ, MARIA, JONAS E JOÃO, ETC.... ISSO NÃO MUDARÁ A COMPOSIÇÃO, A MISTURA, O TIPO DE AGRUPAMENTO ESCOLHIDO, POIS A COMISSÃO SERÁ A MESMA.

    Quantas Comissões de 5 pessoas poderíamos formar dentre 10 pessoas?

    C510 = 10! / 5! x 5! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5! / 5! x 5! =
    = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 / 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =
    = 9 x 8x 7 x 6 / 4 x 3  9 x 7 x 4 = 252

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  • Outra questão interessante é quando no item anterior colocamos condições. Vejamos: Quantas comissões de cinco pessoas podemos formar dentre 7 homens e 3 mulheres, sabendo-se que em cada comissão deverá ter no mínimo 1 mulher? RESOLUÇÃO: 5 PESSOAS  DEVEM SER 4 HOMENS E 1 MULHER OU 3 HOMENS E 2 MULHERES OU 2 HOMENS E 3 MULHERES. C47 X C13 + C37 X C23 + C27 X C33  (7! / 3! x 4!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 4! x 3!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 5! x 2!) x (3! / 3! x 0!)  SABE-SE QUE 0! = 1 35 X 3 + 35 X 3 + 21 X 1  105 + 105 + 21  231 A RESPOSTA É 231 COMISSÕES!!!

    Outra questão interessante é quando no item anterior colocamos condições. Vejamos: Quantas comissões de cinco pessoas podemos formar dentre 7 homens e 3 mulheres, sabendo-se que em cada comissão deverá ter no mínimo 1 mulher? RESOLUÇÃO: 5 PESSOAS  DEVEM SER 4 HOMENS E 1 MULHER OU 3 HOMENS E 2 MULHERES OU 2 HOMENS E 3 MULHERES. C47 X C13 + C37 X C23 + C27 X C33  (7! / 3! x 4!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 4! x 3!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 5! x 2!) x (3! / 3! x 0!)  SABE-SE QUE 0! = 1 35 X 3 + 35 X 3 + 21 X 1  105 + 105 + 21  231 A RESPOSTA É 231 COMISSÕES!!!

    NOTA SOBRE FATORIAL:
    N! = N.(N-1).(N-2).(N-3) .... 1! .0!
    0! = 1

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  • II. Arranjo Simples Parecido com Combinação Simples, consiste em dispormos m coisas distribuídos de p em p, mas nesse caso, a ordem das coisas importa, ou seja, uma inversão na ordem implica mudança de sentido, de interpretação ou mesmo de valores. Por exemplo, se tivermos os algarismos 1, 2 e 3 para formarmos números de 2 algarismos, poderemos formar 12 ou 21; 23 ou 32, etc... O que significa dizer que a ordem dos dados interfere nos resultados. Se quisermos formar números de 5 algarismos sem repetição, usando-se os algarismos de 1 a 9, quantos números poderíamos formar? Resolução: Como a ordem dos números, importa mudança de sentido, usaremos a fórmula do arranjo: ApM = m! / (m – p)!  A59 = 9! / (9 – 5)! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15.120

    II. Arranjo Simples Parecido com Combinação Simples, consiste em dispormos m coisas distribuídos de p em p, mas nesse caso, a ordem das coisas importa, ou seja, uma inversão na ordem implica mudança de sentido, de interpretação ou mesmo de valores. Por exemplo, se tivermos os algarismos 1, 2 e 3 para formarmos números de 2 algarismos, poderemos formar 12 ou 21; 23 ou 32, etc... O que significa dizer que a ordem dos dados interfere nos resultados. Se quisermos formar números de 5 algarismos sem repetição, usando-se os algarismos de 1 a 9, quantos números poderíamos formar? Resolução: Como a ordem dos números, importa mudança de sentido, usaremos a fórmula do arranjo: ApM = m! / (m – p)!  A59 = 9! / (9 – 5)! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15.120

    Outra forma de resolver seria através dos tracinhos:

    9 possibilidades x 8 possibilidades x 7 possibilidades x 6 possibilidades x 5 possibilidade = 15.120

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  • III. Permutação Simples A permutação simples é uma particularidade do arranjo simples em que todos os elementos a serem dispostos deverão ser combinados, ou seja, não sobram elementos. Exemplo clássico é o anagrama que consiste em mudarmos as letras de uma palavra diversas vezes formando outras palavras mesmo que sem sentido algum. Ex.: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra curso? P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou seja, existem 120 formas de dispormos as letras, sem repetição.

    III. Permutação Simples A permutação simples é uma particularidade do arranjo simples em que todos os elementos a serem dispostos deverão ser combinados, ou seja, não sobram elementos. Exemplo clássico é o anagrama que consiste em mudarmos as letras de uma palavra diversas vezes formando outras palavras mesmo que sem sentido algum. Ex.: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra curso? P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou seja, existem 120 formas de dispormos as letras, sem repetição.

    Nos casos de permutação com repetição, é só dividirmos o valor do fatorial da permutação simples pelo produto dos fatoriais dos números de caracteres repetidos.

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  • Exercício 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra araruama? P84, 2 (4 letras a e 2 letras r) = 8! / 4! X 2! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4! / 4! X 2! = 210

    Exercício 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra araruama? P84, 2 (4 letras a e 2 letras r) = 8! / 4! X 2! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4! / 4! X 2! = 210

    É importante sabermos diferenciar combinação simples, arranjo simples, permutação simples e permutação com repetição de caracteres, antes de partirmos para os cálculos!

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  • QUESTÃO DE CONCURSO 1: O departamento de trânsito de uma dada localidade decidiu recentemente identificar todas as bicicletas da cidade por placas, de tal forma que a primeira letra da placa identifique o bairro onde o proprietário da bicicleta reside (a cada bairro é atribuída uma única letra, e bairros diferentes possuem letras diferentes). Também foi decidido que o último dígito numérico da placa é um dígito verificador igual ao dígito das unidades do número formado pela soma dos dígitos anteriores da placa. Se a placa for da forma LLNNN em que 'L' representa uma letra maiúscula do alfabeto de 26 letras, e 'N' é um dígito (ou seja, um número natural variando no intervalo 0  N  9 ), se a localidade possui apenas 8 bairros, então o maior número de bicicletas que podem ser identificadas, de tal forma que, obedecendo às determinações anteriores, a cada bicicleta corresponda uma placa única e diferente de todas as demais, é de: ______ ______ _______ _______ _______ 8 26 10 10 1   8X26X10X10X1 = 20.800 PLACAS

    QUESTÃO DE CONCURSO 1: O departamento de trânsito de uma dada localidade decidiu recentemente identificar todas as bicicletas da cidade por placas, de tal forma que a primeira letra da placa identifique o bairro onde o proprietário da bicicleta reside (a cada bairro é atribuída uma única letra, e bairros diferentes possuem letras diferentes). Também foi decidido que o último dígito numérico da placa é um dígito verificador igual ao dígito das unidades do número formado pela soma dos dígitos anteriores da placa. Se a placa for da forma LLNNN em que 'L' representa uma letra maiúscula do alfabeto de 26 letras, e 'N' é um dígito (ou seja, um número natural variando no intervalo 0  N  9 ), se a localidade possui apenas 8 bairros, então o maior número de bicicletas que podem ser identificadas, de tal forma que, obedecendo às determinações anteriores, a cada bicicleta corresponda uma placa única e diferente de todas as demais, é de: ______ ______ _______ _______ _______ 8 26 10 10 1   8X26X10X10X1 = 20.800 PLACAS

    Na primeira lacuna, coloca-se 8 pois, são 8 bairros diferentes, cada um com uma letra identificadora inicial. Na segunda lacuna, coloca-se 26 pois são 26 letras do alfabeto, podendo repetir e sem qualquer exigência. Posteriormente, na terceira lacuna, coloca-se 10, pois são 10 algarismos de 0 a 9 sem qualquer restrição e na quarta lacuna também, pois pode haver repetição de caracter. A quinta e última lacuna só aceita 1 pois o número deverá ser sempre a soma dos dois anteriores, nunca podendo ser um número desvinculado dos dois anteriores.

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  • Questão de concurso 2 (mpu / esaf) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 384 e 1112. b) 1152 e 1100. c) 1112 e 1152. d) 1152 e 1152. e) 112 e 384. Imaginemos que sejam os Homens: H1, H2, H3 e H4 e que sejam as mulheres: M1 M2 M3 e M4 Resolvendo o item A) _____ _____ _____ _____ ______ ______ ______ ______ 4 4 3 3 2 2 1 1 são as possibilidades de distribuirmos os 4 homens e as 4 mulheres na fila, sem que fiquem juntos 2 homens ou 2 mulheres. Logo, 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 576 (isso se começarmos a fila com homem) + 576 (se começarmos com mulheres) Dessa forma: 576 x 2 = 1152 Agora resolvendo o item B) ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ 4 3 2 1 4 3 2 1 São as possibilidades de distriibuirmos homens e mulheres na fila de modo que os 4 homens e as 4 mulheres fiquem juntos. Logo, 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 576 (se começarmos a fila com homens) + 576 (se começarmos com mulheres)  dessa forma : 576 x 2 = 1152 O gabarito é a letra d -- 1152 e 1152.

    Questão de concurso 2 (mpu / esaf) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 384 e 1112. b) 1152 e 1100. c) 1112 e 1152. d) 1152 e 1152. e) 112 e 384. Imaginemos que sejam os Homens: H1, H2, H3 e H4 e que sejam as mulheres: M1 M2 M3 e M4 Resolvendo o item A) _____ _____ _____ _____ ______ ______ ______ ______ 4 4 3 3 2 2 1 1 são as possibilidades de distribuirmos os 4 homens e as 4 mulheres na fila, sem que fiquem juntos 2 homens ou 2 mulheres. Logo, 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 576 (isso se começarmos a fila com homem) + 576 (se começarmos com mulheres) Dessa forma: 576 x 2 = 1152 Agora resolvendo o item B) ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ 4 3 2 1 4 3 2 1 São as possibilidades de distriibuirmos homens e mulheres na fila de modo que os 4 homens e as 4 mulheres fiquem juntos. Logo, 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 576 (se começarmos a fila com homens) + 576 (se começarmos com mulheres)  dessa forma : 576 x 2 = 1152 O gabarito é a letra d -- 1152 e 1152.

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  • ASSUNTO I ANÁLISE COMBINATÓRIA Análise Combinatória estuda o número de combinações, arranjos ou permutações que se pode fazer com determinados dados. Por exemplo, quando queremos formar comissões de pessoas, combinar cores para pintar cômodos da casa, quando queremos criar uma senha bancária ou para acessar à Internet, quando desejamos formar números de telefones ou de placas de automóveis, dentre outra s possibilidades, usamos a Análise Combinatória. É um assunto muito importante, uma vez que, exige do aluno, e também do professor, atenção, raciocínio e conhecimento matemático.
  • O primeiro passo para que possamos alcançar sucesso nas resoluções de problemas de análise combinatória, é distinguirmos no enunciado se devemos usar combinação simples, arranjo simples, permutação, permutação com repetição ou o princípio fundamental da contagem. Eis as fórmulas mais importantes:
  • I. COMBINAÇÃO SIMPLES NA COMBINAÇÃO SIMPLES, O OBJETIVO É DESCOBRIR O NÚMEROS MÁXIMO DE MISTURAS QUE PODEMOS FAZER, NÃO IMPORTANDO A ORDEM DESSA MISTURA. EX.: SE QUISERMOS FORMAR UMA COMISSÃO DE 5 PESSOAS A SEREM ESCOLHIDAS DENTRE 10 PESSOAS DE IGUAL CAPACIDADE, TEREMOS QUE FAZER O CÁLCULO C510 NÃO IMPORTANDO A ORDEM DAS PESSOAS ESCOLHIDAS NO GRUPO. SE O GRUPO FOR REPRESENTADO POR JOSÉ, MARIA, JOÃO, JONAS E JOAQUIM OU JOAQUIM, JOSÉ, MARIA, JONAS E JOÃO, ETC.... ISSO NÃO MUDARÁ A COMPOSIÇÃO, A MISTURA, O TIPO DE AGRUPAMENTO ESCOLHIDO, POIS A COMISSÃO SERÁ A MESMA.
  • Outra questão interessante é quando no item anterior colocamos condições. Vejamos: Quantas comissões de cinco pessoas podemos formar dentre 7 homens e 3 mulheres, sabendo-se que em cada comissão deverá ter no mínimo 1 mulher? RESOLUÇÃO: 5 PESSOAS ? DEVEM SER 4 HOMENS E 1 MULHER OU 3 HOMENS E 2 MULHERES OU 2 HOMENS E 3 MULHERES. C47 X C13 + C37 X C23 + C27 X C33 ? (7! / 3! x 4!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 4! x 3!) x (3! / 2! x 1!) + (7! / 5! x 2!) x (3! / 3! x 0!) ? SABE-SE QUE 0! = 1 35 X 3 + 35 X 3 + 21 X 1 ? 105 + 105 + 21 ? 231 A RESPOSTA É 231 COMISSÕES!!!
  • II. Arranjo Simples Parecido com Combinação Simples, consiste em dispormos m coisas distribuídos de p em p, mas nesse caso, a ordem das coisas importa, ou seja, uma inversão na ordem implica mudança de sentido, de interpretação ou mesmo de valores. Por exemplo, se tivermos os algarismos 1, 2 e 3 para formarmos números de 2 algarismos, poderemos formar 12 ou 21; 23 ou 32, etc... O que significa dizer que a ordem dos dados interfere nos resultados. Se quisermos formar números de 5 algarismos sem repetição, usando-se os algarismos de 1 a 9, quantos números poderíamos formar? Resolução: Como a ordem dos números, importa mudança de sentido, usaremos a fórmula do arranjo: ApM = m! / (m – p)! ? A59 = 9! / (9 – 5)! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15.120
  • III. Permutação Simples A permutação simples é uma particularidade do arranjo simples em que todos os elementos a serem dispostos deverão ser combinados, ou seja, não sobram elementos. Exemplo clássico é o anagrama que consiste em mudarmos as letras de uma palavra diversas vezes formando outras palavras mesmo que sem sentido algum. Ex.: Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra curso? P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 ou seja, existem 120 formas de dispormos as letras, sem repetição.
  • Exercício 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra araruama? P84, 2 (4 letras a e 2 letras r) = 8! / 4! X 2! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4! / 4! X 2! = 210
  • QUESTÃO DE CONCURSO 1: O departamento de trânsito de uma dada localidade decidiu recentemente identificar todas as bicicletas da cidade por placas, de tal forma que a primeira letra da placa identifique o bairro onde o proprietário da bicicleta reside (a cada bairro é atribuída uma única letra, e bairros diferentes possuem letras diferentes). Também foi decidido que o último dígito numérico da placa é um dígito verificador igual ao dígito das unidades do número formado pela soma dos dígitos anteriores da placa. Se a placa for da forma LLNNN em que 'L' representa uma letra maiúscula do alfabeto de 26 letras, e 'N' é um dígito (ou seja, um número natural variando no intervalo 0 ? N ? 9 ), se a localidade possui apenas 8 bairros, então o maior número de bicicletas que podem ser identificadas, de tal forma que, obedecendo às determinações anteriores, a cada bicicleta corresponda uma placa única e diferente de todas as demais, é de: ______ ______ _______ _______ _______ 8 26 10 10 1   8X26X10X10X1 = 20.800 PLACAS
  • Questão de concurso 2 (mpu / esaf) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 384 e 1112. b) 1152 e 1100. c) 1112 e 1152. d) 1152 e 1152. e) 112 e 384. Imaginemos que sejam os Homens: H1, H2, H3 e H4 e que sejam as mulheres: M1 M2 M3 e M4 Resolvendo o item A) _____ _____ _____ _____ ______ ______ ______ ______ 4 4 3 3 2 2 1 1 são as possibilidades de distribuirmos os 4 homens e as 4 mulheres na fila, sem que fiquem juntos 2 homens ou 2 mulheres. Logo, 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 576 (isso se começarmos a fila com homem) + 576 (se começarmos com mulheres) ?Dessa forma: 576 x 2 = 1152 Agora resolvendo o item B) ______ ______ ______ ______ _______ ______ ______ ______ 4 3 2 1 4 3 2 1 São as possibilidades de distriibuirmos homens e mulheres na fila de modo que os 4 homens e as 4 mulheres fiquem juntos. Logo, 4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 = 576 (se começarmos a fila com homens) + 576 (se começarmos com mulheres) ? dessa forma : 576 x 2 = 1152 O gabarito é a letra d -- 1152 e 1152.
  • Questão de fixação 1
  • Questão de fixação 2
  • Questão de concurso 3
  • Questão de fixação 3
  • QUESTÃO DE CONCURSO 4
  • Assunto 2 probabilidades
  • Fórmula Geral da probabilidade
  • questão de fixação 2
  • Questão de Fixação 3