Curso Online de Matemática para Concursos

Curso Online de Matemática para Concursos

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  • Matemática para Concursos

    2

    Sumário

    Números Naturais -------------------------------------------

    03

    Conjuntos numéricos: racionais e reais ------------------- 05

    Divisibilidade ------------------------------------------------- 10

    Números Primos --------------------------------------------- 12

    Máximo Divisor Comum (mdc mmc) ---------------------- 13

    Números Racionais ------------------------------------------ 15

    Números Fracionários --------------------------------------- 16

    Números Decimais ------------------------------------------- 21

    Potenciação --------------------------------------------------

    23

    Radiciação ---------------------------------------------------- 24

    Razões e Proporções ---------------------------------------

    Média ---------------------------------------------------------- 25

    Produtos Notáveis ------------------------------------------- 27

    Divisão Proporcional ----------------------------------------

    28

    Regra de Três: Simples e Composta ----------------------- 29

    Porcentagens ------------------------------------------------- 31

    Juros Simples ------------------------------------------------

    32

    Juros Compostos --------------------------------------------- 34

    Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35

    Sistema Métrico Decimal ------------------------------------ 45

    Equações do 1.º grau ---------------------------------------- 47

    Equações do 2.º grau --------------------------------------- 51

    Sistemas ------------------------------------------------------ 56

    Equações -----------------------------------------------------

    57

    Progressão aritmética --------------------------------------- 62

    Progressão geométrica -------------------------------------

    64

    Noções de trigonometria ------------------------------------ 65

    Teorema de Pitágoras --------------------------------------- 68

    Funções exponenciais --------------------------------------- 69

    Logaritmos ---------------------------------------------------

    Polinômios ----------------------------------------------------

    Geometria ----------------------------------------------------

    71

    Noções de probabilidade ------------------------------------ 73

    Noções de estatísticas --------------------------------------

    76

  • Matemática para Concursos

    3

    Editado por: Flávio Nascimento

    Números Naturais

    Conjunto dos Números Inteiros

    Este é mais um conjunto numérico que devemos conhecer para futuros estudos, representado
    pela letra Z.
    Conjunto dos Números Naturais representado pela letra N.
    O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto é
    infinito ou seja não tem fim.
    Este ficou pequeno para a matemática, observe os exemplos:
    a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?

    Dentro do conjunto dos número naturais não existe resposta para estas perguntas, ou seja as
    respostas estão dentro do conjunto dos números inteiros.
    Vamos conhecer este conjunto:

    O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é
    formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um
    número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo.

    No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros.
    Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo,
    temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação
    ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do
    nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos
    números negativo e positivos.

    Reta Numérica Inteira

    Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, eles estão
    crescendo da esquerda para a direita, -7 é menor que -6, 0 é maior que -1 e assim em diante.

    Vamos comparar alguns números inteiros.
    a) -5 > -10,
    b) +8 > -1000,
    c) -1 > -200.000,
    d) -200 < 0,
    e) -234 < -1,

    f)

    +2 > -1,
    g) g) -9 < +1

    Lembrete:
    1º: Zero é maior que qualquer número negativo.
    2º: Um é o maior número negativo.
    3º: Zero é menor que qualquer número positivo.
    4º: Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

    Números opostos ou simétricos

    Observe que a distancia do -3 até o zero é a mesma do +3 até o zero, estes números são
    chamados de opostos ou simétricos.

  • Matemática para Concursos

    4

    Logo:
    - 2 é oposto ou simétrico do + 2, + 20 é oposto ou simétrico do - 20, - 100 é oposto ou
    simétrico de + 100.

    Adição e Subtração de Números Inteiros
    Exemplos:
    a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
    b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos números)
    c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos
    números)
    d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que
    estava depois da subtração)
    e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do número que
    estava depois da subtração)

    Lembrete:
    Para facilitar seu entendimento, efetue esta operações pensando em débito(número negativo)
    e crédito(número positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo
    15 reais se tenho só dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho uma
    divida de 5 reais faço mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.

    Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
    Exemplos:
    a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)
    b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)
    c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)
    d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)
    e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)
    f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)
    g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)
    h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

    Lembrete:
    Observe que a multiplicação ou divisão de números de mesmo sinal o resultado e sempre
    positivo, a multiplicação ou divisão de números de sinais diferentes o resultado é sempre
    negativo.

    Potenciação de Números Inteiros
    Exemplos:
    a) (+3) = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2) = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32

    2

    5

    c) (-8) = 1 (todo número elevado a zero é igual a 1 positivo) d) (+9) = 1 (todo número
    elevado a zero é igual a 1 positivo)

    0

    0

    e) (18) = 18 (todo número elevado a um é igual a ele mesmo)

    1

    Importante:
    (-2) = (-2) x (-2) = 4 é diferente de - 2 = -(2) x (2) = - (4) = - 4
    No primeiro caso tanto o sinal quanto ao número estão ao quadrado e no segundo caso apenas
    o número está elevado ao quadrado.

    2

    2

    Radiciação de Números Inteiros
    Exemplos:

    a)

    (lembre-se que 5 x 5 = 25)

    b)

    (lembre-se que 7 x 7 = 49)

    c)

    (lembre-se não existe raiz quadrada de número inteiro negativo)

    d)

    (observe que neste caso o menos está fora da raiz, sendo assim existe a raiz)

    e)

    (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso é raiz cúbica e não raiz quadrada.

    d)

    (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

  • Matemática para Concursos

    5

    Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros

    a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]
    = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]
    = 3 - 2 + 4 - 5 - 6
    = 7 - 13
    = - 6

    Primeiro eliminamos os parênteses, como antes
    dele tinha um sinal de menos todos os números
    saíram com sinais trocados, logo depois eliminamos
    os colchetes, como também tinha um sinal de
    menos todos os números saíram com os sinais
    trocados, somamos os positivo e o negativos

    b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}
    = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}
    = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}
    = {- 5 - 8 + 15 - 3}
    = - 5 - 8 + 15 - 3
    = - 16 + 15
    = - 1

    Primeiro resolvemos dentro do parênteses, depois
    multiplicamos o resultado por 3, logo após
    eliminamos os colchetes, como antes deste tinha
    um sinal de mais, todo os números saíram sem
    trocar sinal, eliminamos também as chaves,
    observe que também não teve troca de sinais pelo
    mesmo motivo anterior, juntamos positivo e
    negativos.

    Conjuntos numéricos: racionais e reais

    Conjunto

    Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

    Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.
    Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se
    forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade
    dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos
    escrever:
    P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

    Relação de pertinência

    Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o símbolo 0significa "pertence

    a".
    Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y
    A.
    O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por .
    Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual
    pertencem
    todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.
    Assim é que, pode-se escrever como exemplos:

    i= { x; x x} e U = {x; x = x}.

    Subconjunto

    Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que

    A é subconjunto de B e indicamos isto por A d B.

    Notas:

    a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A d A )

    b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (id A)

    c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos.
    d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado
    conjunto das partes de A e é indicado por P(A).

  • Matemática para Concursos

    6

    Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}
    e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

    Conjuntos numéricos fundamentais

    Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem
    infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais,
    a saber:

    Conjunto dos números naturais
    N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

    Conjunto dos números inteiros
    Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }

    Obs: é evidente que N d Z.

    Conjunto dos números racionais

    Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q 0 }.

    Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q
    onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
    Lembre-se que não existe divisão por zero!
    São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 =
    7/1, etc.

    Notas:

    a) é evidente que N d Z d Q.

    b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima
    periódica na forma de uma fração.
    Exemplo: 0,4444... = 4/9 _

    Conjunto dos números irracionais
    I = {x; x é uma dízima não periódica}.
    Exemplos de números irracionais:
    = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu
    diâmetro)
    2,01001000100001... (dízima não periódica)
    3 = 1,732050807... (raiz não exata).

    Conjunto dos números reais
    R = { x; x é racional ou x é irracional}.

    Notas:

    a) é óbvio que N d Z d Q d R
    b) I d R
    c) I cQ = R

    d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

    Intervalos numéricos

    Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais
    compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites
    do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo.

    Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto.
    A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

  • Matemática para Concursos

    7

    TIPOS

    REPRESENTAÇÃO_

    OBSERVAÇÃO

    INTERVALO FECHADO

    [p;q] = {x 0 R; p x q}

    inclui os limites p e q

    INTERVALO ABERTO

    (p;q) = { x 0 R; p < x < q}

    exclui os limites p e q

    INTERVALO FECHADO A ESQUERDA

    [p;q) = { x 0 R; p x < q}

    inclui p e exclui q

    INTERVALO FECHADO À DIREIT

    (p;q] = {x 0 R; p < x q}

    exclui p e inclui q

    INTERVALO SEMI-FECHAD

    [p; ) = {x 0 R; x p}

    valores maiores ou iguais a p.

    INTERVALO SEMI-FECHADO

    (- ; q] = { x 0 R; x q}

    valores menores ou iguais a q.

    INTERVALO SEMI-ABERTO

    (- ; q) = { x 0 R; x < q}

    valores menores do que q.

    INTERVALO SEMI-ABERTO

    (p; ) = { x > p }

    valores maiores do que p.

    Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado
    na forma
    de intervalo como R = ( - ; + ).

    Operações com conjuntos

    União (c )

    Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0 B}.
    Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união

    contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

    Propriedades imediatas:

    a) A c A = A
    b) A c = A
    c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
    d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.

    Interseção (1 )

    Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x 0 B}.
    Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção

    contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

    Propriedades imediatas:

    a) A 1 A = A
    b) A 1 i = i
    c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa)
    d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.

    São importantes também as seguintes propriedades :

    P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)
    P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)
    P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
    P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)

  • Matemática para Concursos

    8

    Obs: Se A 1 B = , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.

    Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.

    Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas
    não pertencem ao segundo.
    Exemplos:
    { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
    {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

    Propriedades imediatas:
    a) A - = A
    b) - A =
    c) A - A =
    d) A - B B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

    Complementar de um conjunto

    Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois

    conjuntos A e B, com a condição de que B d A , a diferença A - B chama-se, neste caso,

    complementar de B em relação a A .
    Simbologia: CAB = A - B.
    Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é
    indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que
    não pertencem ao conjunto B, ou seja:

    B' = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:

    a) B 1 B' =
    b) B 1 B' = U

    c) ' = U
    d) U' = _

    Partição de um conjunto

    Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A),
    qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por
    P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
    1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
    2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
    3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
    Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
    Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio
    - Ø.
    Assim, o conjunto das partes de A será:
    P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
    Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
    X = { {2}, {3,5} }
    Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
    a) nenhum dos elementos de X é Ø .

    b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø

    c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
    Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A.
    Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são
    outros exemplos de partições do conjunto A.
    Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do
    conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6,
    8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .

  • Matemática para Concursos

    9

    Número de elementos da união de dois conjuntos

    Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de
    elementos de B seja n(B).
    Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto.

    Representando o número de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de
    elementos da união A c B por n(A c B) , podemos escrever a seguinte fórmula:
    n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)

    Exercícios

    1) USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
    a) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
    b) quando chove de manhã não chove à tarde;
    c) houve 5 tardes sem chuva;
    d) houve 6 manhãs sem chuva.
    Podemos afirmar então que n é igual a:
    a)7
    b)8
    c)9
    d)10
    e)11

    2) 52 pessoas discutem a preferência por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o
    número de pessoas que gostavam de B era:
    I - O quádruplo do número de pessoas que gostavam de A e B;
    II - O dobro do número de pessoas que gostavam de A;
    III - A metade do número de pessoas que não gostavam de A nem de B.
    Nestas condições, o número de pessoas que não gostavam dos dois produtos é igual a:
    a)48
    b)35
    c)36
    d)47
    e)37

    3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e
    11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram
    também São Paulo. O número de estudantes que visitaram Manaus ou São Paulo foi:
    a) 29
    b) 24
    c) 11
    d) 8
    e) 5

    4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira,
    referindo-se à data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas:
    a)século XIX
    b)século XX
    c)antes de 1860
    d)depois de 1830
    e)nenhuma das anteriores
    Pode-se garantir que a resposta correta é:
    a)a
    b)b
    c)c
    d)d
    e)e

  • Matemática para Concursos

    10

    5) - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, então o cardinal de A é igual a:
    a) 5
    b) 6
    c) 7
    d) 9
    e)10

    6) - Após um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas
    presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas.
    Quantas não comeram nenhuma ?
    a) 1
    b) 2
    c) 3
    d) 4
    e) 0

    7) PUC-SP - Se A = e B = { }, então:

    a) A 0 B
    b) A c B = i

    c) A = B

    d) A 1 B = B
    e) B d A

    8) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O número de elementos de A 1 B é 30, o
    número de elementos de A 1 C é 20 e o número de elementos de A 1 B 1 C é 15.
    Então o número de elementos de A 1 (B c C) é igual a:

    a)35
    b)15
    c)50
    d)45
    e)20

    9) Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto
    A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } são:
    a)2 ou 5
    b)3 ou 6
    c)1 ou 5
    d)2 ou 6
    e)4 ou 5

    RESULTADO
    1) c 2) a 3) a 4) c 5) e 6) a 7) a 8) a 9) a

    Divisibilidade

    Critérios de divisibilidade
    São critérios que nos permite verificar se um número é divisível por outro sem precisarmos
    efetuar grandes divisões.

    Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou
    4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

  • Matemática para Concursos

    11

    Exemplos :
    8490 é divisível por 2, pois termina em 0.
    895 não é divisível por 2, pois não é um número par.

    Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos
    seus algarismos for divisível por 3.
    Exemplo:
    870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível
    por 3, então 870 é divisível por 3.

    Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número
    formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
    Exemplo:
    9500 é divisível por 4, pois termina em 00.
    6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.
    836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4.
    9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.

    Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
    Exemplos:
    425 é divisível por 5, pois termina em 5.
    78960 é divisível por 5, pois termina em 0.
    976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

    Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo
    tempo.
    Exemplos:
    942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
    6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
    984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3.
    357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

    Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o
    número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
    Exemplos:
    2000 é divisível por 8, pois termina em 000.
    98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8.
    98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
    78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

    Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos
    seus algarismos for divisível por 9.
    Exemplo:
    6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é
    divisível por 9, então 6192 é divisível por 9.

    Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
    Exemplos:
    8970 é divisível por 10, pois termina em 0.
    5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

    Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos
    valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
    Exemplos:
    87549
    Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
    Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
    Si - Sp = 22 - 11 = 11
    Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
    439087
    Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10


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  • Radiciação ---------------------------------------------------- 24
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